そこで、あくまでも一般論になりますがお答えさせていただきます。

 まず、この従業員との労働契約が「期間の定めのない労働契約」であったのか、又は「有期労働契約」であったのかによって対処の仕方が違ってきます。 

まず、「期間の定めのない労働契約」なのであれば労働基準法上は会社側が解雇する場合には30日前に予告することとされていますが、従業員が労働契約を打ち切るときには特段の定めはありません。

 この結果、法的には、労働基準法の一般法である民法が適用されることになります。

 民法第627条では「当事者が雇用の期間を定めなかったときは、各当事者は、いつでも解約の申入れをすることができる。この場合において、雇用は、解約の申入れの日から２週間を経過することによって終了する」と規定されています。

 従業員がどうしてもやめたい、となるといくら就業規則等で「1ヶ月前の申出をすること」などと規定していても法律上は２週間たてば雇用契約は終了してしまいます。

 今回の場合ですと、8月5日に辞めたいとの申出があったということですので、２週間経過後の8月20までは働かせることは可能です。

 また、この民法の規定により２週間は働かせることができるので、従業員の強引な退職により会社に損害が発生した場合は、従業員に対して損害賠償を請求することも可能です。 

それに対して、「有期労働契約」の場合は、原則的に契約期間中の解雇や退職はできません。

 もし、６ヵ月契約をしていて、４ヵ月経過の時点で辞めるということは原則できません。

 ただ、やむを得ない事情があれば、契約の解消ができます。

 これは民法628条に「当事者が雇用の期間を定めた場合であっても、やむを得ない事由があるときは、各当事者は、直ちに契約の解除をすることができる。この場合において、その事由が当事者の一方の過失によって生じたものであるときは、相手方に対して損害賠償の責任を負う」と規定されています。

 お母さんが病気になって、その従業員が看病をしなければならなくなったということが、やむを得ない事情に該当するかどうかが問題になります。

 前述の「期間の定めのない労働契約」の場合も、「やむを得ない事情」があれば、２週間を経過せずに辞めても、民事上の争いになった場合は、損害賠償までは難しいかもわかりません。

 後は、御社の就業規則に「懲戒」の規定があり、「減給の制裁」を定めている場合は、「１回の額が平均賃金の１日分の半額を超え、総額が１賃金支払期における賃金の総額の10分の１を超えない」範囲で減給することも可能かと思いますが、これも「やむを得ない事情」がある場合には適用は難しいかもわかりません。

 いずれにしても、「母親の看病が５日後に辞めなければならないほど差し迫ったものである」ということの何らかの証拠を提出させるぐらいはされておかれてもいいかもしれません。

 以上、あくまでも一般論としてお答えさせていただきました。